太陽の周辺は時空が歪んでいる――宇宙はなぜブラックホールを造ったのか(3)
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agarieakiko

2019/02/22

一般相対性理論とは?

 

アインシュタインが構築した一般相対性理論は、慣性系だけでなく、加速度運動している(外力が働いている)座標系における運動に対しても適用できる理論です。慣性系という足かせが取れたので、ここで“一般”という名前がつくようになりました。

 

アインシュタインは、このとき簡単な仮定を採用しました。それは等価原理と呼ばれるもので、

 

“運動における加速度”と”重力による加速度”は区別できない

 

というものです。ただし、この原理は局所的に(非常に狭い領域で)見たときに成立するものです。アインシュタインがこの等価原理に気づいたのは、特殊相対性理論の発表からわずか2年後、1907年のことでした。彼自身「生涯で最も素晴らしいアイデア」と自画自賛したアイデアです。

 

一般相対性理論には、等価原理の他に、もう一つの重要な要素が出てきます。それは”曲がった時空”です。なぜなら、一般相対性理論における重力の効果は時空の曲がりとして出てくるからです。

 

曲がった時空とは?

 

一般相対性理論では、”時空の曲がり”も一つの大切なキーワードです。

 

私たちは日常生活の中で、時空が曲がっていることを認識することはありません。もし、あったら大変です。まっすぐ歩くことはできなくなるからです。重力はそもそも非常に弱い力であり、身の回りに膨大な質量を持つ物体もありません。身近にあるとすれば、それは地球であり、太陽ぐらいのものです。

 

曲がっていない時空はユークリッド空間と呼ばれ、そこで成立する幾何学はユークリッド幾何学と呼ばれます。ユークリッド空間では平行線はいつまでも平行線であり、また三角形の内角の和は180度です。学校で習った通りです。つまり、私たちの日常感じている世界がユークリッド空間なのです。

 

時空が曲がっていない場合、光は直進します。これは光が伝播する場合、常に最短時間で伝播するためです。これはフランスの数学者、ピエール・ド・フェルマー(1608-1665)が1661年に発表したので、フェルマーの原理と呼ばれます。

 

しかし、一般相対性理論では、

・質量を持つ物体がある=その場所の時空は質量分布に応じて歪む

と考えるのです。

 

例えば、地球は太陽の周りを公転運動しています。ニュートン力学では地球と太陽の間に働く重力(地球は太陽の重力で引っ張られている)によると解釈します。しかし、一般相対性理論ではまったく異なる解釈になります。太陽の周辺は太陽の質量により時空が歪んでいます。地球はその歪んだ時空に沿って運動しているだけなのです。一般相対性理論はニュートン力学とはまったく異なる理論であることがわかると思います。

 

(上)一般相対性理論では質量を持つ物体がある場合(この図では地球が物体として描かれている)、その場所の時空は質量分布に応じて歪む。本来は時空の歪みは3次元であるが、ここでは理解しやすいように2次元で表されている。(出所:ウィキペディア)
(下)一般相対性理論による地球の公転運動。地球は太陽の質量が作る時空の歪みに沿って運動している。出所:上記の写真を加工して作成

 

私たちが住んでいる世界はユークリッド空間であると言いました。曲がった時空はユークリッド空間ではないので、非ユークリッド空間と呼ばれます。非ユークリッド空間は厄介で、アインシュタイン自身を苦しめました。なぜなら、数学的な記述が格段と難しくなるからです。

 

だが、アインシュタインは幸運でした。彼には大学時代に数学に長けた友人がいたからです。友人の名前はマルセル・グロスマン(1878-1936)。ハンガリー出身の数学者です。チューリッヒ工科大学の数学科の教授だったグロスマンは、アインシュタインに非常に有益なコメントを与えました。

 

「君の理論に必要なのはリーマン幾何学だよ」

 

リーマン幾何学は非ユークリッド空間を取り扱える幾何学で、微分幾何学と呼ばれる幾何学の一種です。ドイツの数学者ベルンハルト・リーマン(1826-1866)によって創設された幾何学体系です。曲がった時空を取り扱うことになるので、なにしろ難解になります。

 

下の図を見てください。

 

時空の種類:(上)閉じた宇宙、(中央)開いた宇宙、(下)平坦な宇宙(ユークリッド空間)、図中のΩ0 は密度パラメータと呼ばれる量で、宇宙が平坦になる密度(臨界密度)との比である。したがって、Ω0 = 1が平坦な宇宙になる。(出所:ウィキペディア)

 

上から、閉じた宇宙、開いた宇宙、そして平坦な宇宙(ユークリッド空間)です。三角形の内角の和は、閉じた宇宙では180度より大きくなり、開いた宇宙では小さくなります。平行線も、閉じた宇宙では交わってしまいますが、開いた宇宙では交わることもあれば、交わらずに離れていく場合もあります。平坦な宇宙とは明らかに異なった状況になっていることがわかると思います。

 

質量を持つ物体があると、その周りの時空が曲がり、それが重力の効果として現れる。一般相対性理論ではこのように重力を考えるので、曲がった時空を記述するリーマン幾何学が必須になるのです。

 

例えば、ある距離を置いて、地球の赤道上の二つの地域から飛行機を飛ばすとしましょう。2機の飛行機はいずれも真北に向かって飛んでいきます。高度も1万メートルを保って飛ぶとしましょう。お互いの飛行機から眺めると、しばらくは2機は平行に飛んでいるように見えます。しかし、厳密に眺めると、2機は少しずつ近づいているのです。そして、北極点に達したとき、悲劇が起こります。2機はあえなく衝突してしまうからです。

 

出発地点ではお互いにきちんと真北に向かいました。つまり、平行に飛び始めた。ところが、飛行機は真に平行に飛ぶわけではないのです。地球というほぼ球体の表面の上を飛ぶからです。つまり、2機の航路は直線ではなく、空間を曲がりながら飛んだのです。これは曲がった空間を飛んだことに等しくなります。そのため、平行からずれて北極点で衝突してしまったのです。

 

また、少し離れたところにいる2人の人間が、地球の中心に向かって落ち込んでいくときも同じような出来事が起こります。最初、2人は離れており、地球の中心に向かって平行を保ちながら落ちていくように感じられるでしょう。しかし、中心に近づくにつれて2人の距離は少しずつ近づいていきます。そして中心では、2人は見事に衝突してしまいます。彼らも、じつは曲がった空間を移動していたのです。

 

 

以上、『宇宙はなぜブラックホールを造ったのか』(谷口義明著、光文社新書)から抜粋し、一部改変してお届けしました。

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谷口義明(たにぐちよしあき)

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