『宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃』KADOKAWA
加藤文元／著

こんなにテンションが上がる読書も、久しぶりだ。そして僕は、この感動を共有したいという衝動を抑えきれないでいる。

「宇宙際タイヒミュラー理論（IUT理論）」をご存知だろうか？数年前、ネットの記事でこの単語を見かけ、何のことだかよく分からないながらもそのネーミングに惹かれて調べてみたものの、理解できたことは、「世界中の数学者もほとんど理解できていないヤバイ理論を京都大学の天才が発表した」ということだけだった。

この「IUT理論」は、数学に関心がある人の間で大いに盛り上がったが、その理由の一つが「ABC予想」にある。これは、現代数学において未解決のまま残された問題の内、「最も重要」とも言われる予想であり、そしてこの「IUT理論」はその「ABC予想」の証明に成功したとして大きく取り上げられたのだ。「ABC予想」の重要性を理解できる方法の一つとして、「ABC予想」が正しいと証明されれば、「シュピロ予想」や「フライ予想」など複数の未解決問題が自動的に正しいと証明される、という事実がある。これらも単体では非常に難しい予想だが、「ABC予想」さえ正しいと証明されてしまえば、それらも正しいと決まってしまうのだという。それぐらい、「ABC予想」というのは包括的な予想であるのだが、しかしその証明はあまりにも難しく、その端緒すら掴めないというような状態だったという。そんな「ABC予想」が「IUT理論」によって証明されたかもしれない、となれば、大いに話題になることは当然だろう。

しかし、問題だったのは、「IUT理論」そのものが、それこそ異様に難しい、ということだった。ある数学者は「IUT理論」を「まるで未来からやってきた論文」と表現したほどだ。2012年8月30日に、京都大学の望月新一教授は、自身のHPに論文を発表したが、それは600ページにも及ぶものだった。さらに、その600ページの論文が、過去の望月教授の論文を下敷きにしていたこと（つまり、理解するためには過去の望月教授の論文も読まなければならない）、さらに、あまりに独創的で、これまでの数学にはなかった独自の概念が大量に盛り込まれていたこともあって、「IUT理論」は、登場時こそ世間を騒がせたが、次第に数学者たちに諦めムードをもたらすことになった。

【欧米や日本も含めて、世界中の多くの数学者たちにとって、IUT理論の受け止められ方はさまざまですが、多くの場合、次のような印象をもたれている感があります。「IUT理論とは単に新奇な抽象概念が恐ろしく複雑に絡まり合っている理論装置で、その中身はあまりに複雑なので、それをチェックすることは人間業では到底困難である」。したがって、だれもその真偽をチェックできない以上、これ以上まともに請けあってもしょうがないと、多くの数学者たちは考えているようです】

「IUT理論」は、2012年に発表されながら、未だに「正しい」と認められていない。これほど証明のチェックに時間が掛かかる理論も珍しいだろう。

本書は、そんな「IUT理論」についての本である、と書くと、多くの人がひるんでしまうだろう。しかしその心配はない。望月教授と親交の深い著者が、「IUT理論」を“恐ろしいくらい”と言いたくなるほど易しく説明してくれている。正直、現役の数学者が書く本で、これほどまでに読みやすく書かれた数学書はなかなかないだろう。

本書の前半では、「IUT理論は数学者にどう受け入れられたのか」や「数学者の仕事とはどういうものであるか」など、数学そのものの話ではないことが書かれるが、ここではそこには触れない。また、「IUT理論」は「ABC予想」を証明したかもしれないという点で話題になったが、本書では「IUT理論」が「ABC予想」をどう攻略しようとしたのかについて触れていないので、ここでも「ABC予想」についても深入りしない。あくまでも著者は本書を、「IUT理論の理解を深めてもらうため」に書いており、「ABC予想の証明にどう貢献したか」については重視していないのだ。

さてそれでは、本書を読んで僕なりに理解した「IUT理論」の概略について書いていこう。

まず「IUT理論」では、「複数の数学世界」について考える。これはイメージしにくい（僕もちゃんとはイメージ出来ていない）ので、「数学のルールがまったく異なるいくつかの世界」程度に捉えてほしい。

何故そんなことを考えるのか。その理由は、「足し算と掛け算を分離するため」ということになる。これもまた非常に難しいが、とりあえず「足し算」と「掛け算」のことは脇に置いて、「正則構造」と呼ばれるものについて考える。

「正則構造」とは、「2つの要素が一蓮托生となっているもの」だ。例えば、「正方形」について考えてみる。「正方形」というのは、「縦の長さ」と「横の長さ」が同じ図形だ。そして、「縦の長さ」だけを固定したまま「横の長さ」を変化させることは出来ない。それをしてしまえば「正方形」ではなくなってしまうし、「正方形」という条件を保つためには、「縦の長さ」が変化する時は「横の長さ」も変化しなければならない。このように、「縦の長さ」と「横の長さ」という「2つの要素」が「一蓮托生」になっているものを「正則構造」と呼ぶ。

そして、数学の世界においては、「足し算」と「掛け算」も「正則構造」の関係にあるのだという。つまり、「一蓮托生」である。だから、「足し算」の方をそのままにして「掛け算」だけを変化させる、などということは出来ない。それをやってしまうと、「僕らが使っている数学のルール」が壊れてしまうし、それを壊さないためには、「足し算」を変化させたら「掛け算」も変化させなければならないのだ。

しかし望月教授は、この「足し算」と「掛け算」の「正則構造」をなんとか壊したかった。その動機の中心にあるのが、「ABC予想」を証明したい、というものだ。つまり、望月教授は、「足し算」と「掛け算」の「正則構造」を「うまく壊す」ことが出来れば、「ABC予想」の証明にたどり着けるのではないか、と考えたのだ。彼はその発想を得てから、2年間考え続けた。その結果、「今の数学の体系では不可能」という結論に至ったという。まあそれはそうである。「足し算」と「掛け算」の「正則構造」を壊すということは、「僕らが使っている数学のルール」を壊すということなのだから。

しかし彼は、ここで諦めなかった。彼はその後、「今の数学の体系では不可能なら、複数の数学世界について考えれば突破出来るのではないか」という、超絶アクロバティックな発想に行きつくことになる。

では、「複数の数学世界」について考えるとどんな良いことがあるのか。それを本書では「女優」を例にとって説明している。

「Aという名前の女優」がドラマの中で「Bという名前の教師」を演じるとする。するとこの人物は、「同じ」人物でありながら、「現実世界ではA」「ドラマの中ではB」という「違う」人物として存在出来る。つまり、「複数の世界」を想定することで、「『同じ』でありながら『違う』」という矛盾をギリギリ成立させることが出来るようになる。「足し算」と「掛け算」を分離するというのも、1つの世界しか考えなければ明らかに成立し得ない矛盾だが、複数の世界を想定することで、ギリギリその矛盾を成立させられるかもしれないということだ。

そうなると、次に考えなければならないことは、その複数の数学世界同士の「通信」だ。複数の数学世界がある、というだけで、互いに無関係であれば、なんの意味もない。複数の数学世界を想定することで、何か意味のある成果を得ようとすれば、その世界同士で何らかの「通信」が成り立つ必要がある。しかし一方で、その世界同士が簡単に「通信」出来てしまう、というのも困る。簡単に「通信」出来るということは、その世界同士にあまり差がないということになるが、今実現したいことは、「足し算」と「掛け算」を分離するという1つの数学世界では不可能なことであり、世界同士の差は大きくなければ実現できそうにない。つまり必然的に、「通信」もある程度困難でなければならない、ということだ。

まったく「通信」出来ないのも困るが、「通信」が易しすぎても困る。そういう条件を満たすものとして望月教授は「対称性」に目をつける。「対称性」が何であるかはここでは説明しないが、イメージとしては、「ある情報を復元するための性質」程度に思ってもらえればいい。例えば「赤くて丸い果物」という「性質」を「通信」することで、「りんご」という情報が復元できる、というようなイメージだ。

しかし、この「通信」には問題がある。それは、正確に伝わらない、という問題だ。元々この「通信」には「困難なものでなければならない」という制約があったのだから当然ではある。例えば「赤くて丸い果物」という「性質」を「通信」しても、受け取った側は「さくらんぼ」として情報を復元するかもしれない。同じように「IUT理論」における「通信」では、「対称性」から元の情報を完全には復元できない、ということが問題になる。

では、「どの程度復元できない」のだろうか。つまり、「通信」した情報は「どの程度歪む」のだろうか。「IUT理論」は、その「歪み」を定式化（式の形で表現）出来る、と主張する。まさにこの点こそが、「IUT理論」の真骨頂だ。「IUT理論」では、この「歪み」を、ある不等式で表している。つまり「IUT理論」とは、

【複数の数学世界同士の通信を考えた時、その通信による情報の歪みをある不等式で表すことが出来る】

と主張する理論なのだ。これで、僕が理解している限りの「IUT理論」の説明は終了である。

本書を読めば、「IUT理論」の斬新さは数学のいちファンでしかない僕にも伝わってくるし、この理論が今後数学の世界でどう評価されるのか、楽しみで仕方ない。

『宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃』KADOKAWA
加藤文元／著